wip examples

fetch.lt

@@ -0,0 +1,31 @@
+
+export {
+	let fetch-word :
+		&machine.Word ~ <AlignedPtr 8> ~ machine.Address ~ machine.UInt64
+		-> machine.Word;
+
+	let fetch-byte :
+ 		  &<Bits 8>
+		~ <AlignedPtr 8>
+		~ machine.Address
+		~ machine.UInt64
+		-> <Bits 8>
+		 ~ machine.Word
+    = λ ptr ↦ {
+        fetch-word (align ptr);
+        bit-shr (* 8 (ptr % 8));
+        bit-and 0xff;
+    };
+
+    let fetch-nibble
+        : &<Bits 4>
+        ~ <AlignedPtr 4>
+        ~ machine.UInt64
+
+       -> <Bits 4>
+       ~ machine.Word
+    = λ idx ↦ {
+        
+    };
+}
+

lt-stdlib/angle.lt

@@ -0,0 +1,19 @@
+export {
+    let angle-normalize =
+        λ a : Angle
+            ~ Degree
+            ~ ℝ_0,360
+            ~ ℤ_360
+            ~ ℤ_2^64
+            ~ machine.UInt64
+            ~ machine.Word
+    ↦ Angle~Degree~ℝ_0,360~ℤ_360: machine.UInt64.rem a 360;
+
+    let angle-degree-to-turns =
+        λ a : Angle
+            ~ Degree
+            ~ ℝ_0,360
+            ~ ℝ
+            ~ machine.Float64
+        ↦ f/ a 360 ;
+}

lt-stdlib/color.lt

@@ -1,36 +1,35 @@
 export {
+    /* todo: allow machine.UInt8 in the VM
+    */
     let morph-rgb-to-hsv = λ{
         {
-            red:    ℝ_0,1 ~ ℤ_256 ~ machine.UInt64;
-            green:  ℝ_0,1 ~ ℤ_256 ~ machine.UInt64;
-            blue:   ℝ_0,1 ~ ℤ_256 ~ machine.UInt64;
+            red:    ℝ_[0,1] ~ ℤ_256 ~ machine.UInt64;
+            green:  ℝ_[0,1] ~ ℤ_256 ~ machine.UInt64;
+            blue:   ℝ_[0,1] ~ ℤ_256 ~ machine.UInt64;
         } : <Color sRGB>
           ~ RGB
-          ~ <Vec3 ℝ_0,1 ~ ℤ_256 ~ machine.UInt64>;
+          ~ <Vec3 ℝ_[0,1] ~ ℤ_256 ~ machine.UInt64>;
+	}
     /*
-        ::> Color
+    -> <Color sRGB>
      ~ HSV
      ~ {
-                hue: Angle
-                   ~ Degrees
-                   ~ ℝ_0,360
-                   ~ ℤ_360
-                   ~ machine.UInt64 ;
-
-                saturation: ℝ_0,1 ~ ℤ_256 ~ machine.UInt64 ;
-                value:      ℝ_0,1 ~ ℤ_256 ~ machine.UInt64 ;
+         hue: Angle ~ Degrees ~ ℝ_0,360 ~ ℤ_360 ~ machine.UInt64 ;
+         sat: ℝ_[0,1] ~ ℤ_256 ~ machine.UInt64;
+         val: ℝ_[0,1] ~ ℤ_256 ~ machine.UInt64;
      }
      ~ <Vec3 machine.UInt64>
     */
-	} ↦ {
+	↦ {
 		let channel_max = int-max (int-max red green) blue;
 		let channel_min = int-min (int-min red green) blue;
+		let channel_delta = i- channel_max channel_min;
 
         /* value */  
 		channel_max;
 
         /* saturation */
-        i/ (i* 255 (i- channel_max channel_min)) channel_max;
+        i/ (i* 255 channel_delta) channel_max;
 
         /* hue */
         i%  (i/ (i* 60
@@ -40,8 +39,25 @@ export {
                         else                           { i+ (i* 4 255) (i- red green); };
                     }
                 )
-                (i- channel_max channel_min)
+                channel_delta
             )
             360;
     };
+    
+/*
+    let get-srgb-luminance =
+        -> ℝ_[0,1] ~ machine.Float64
+        λ{r:ℝ,g:ℝ,b:ℝ} : <Color sRGB> ~ RGB ~ <Vec3 ℝ_[0,1] ~ machine.Float64>
+        ↦
+        {
+            machine.Float64.mul red   0.22248840;
+            machine.Float64.mul green 0.71690369;
+            machine.Float64.mul blue  0.06060791;
+            machine.Float64.add;
+            machine.Float64.add;
+
+//            add (add (mul r 0.2) (mul g 0.7)) (mul b 0.6)
+        };
+*/
 }
+

lt-stdlib/complex.lt

@@ -0,0 +1,10 @@
+export {
+	let complex-magnitude = λ{
+		{ re: ℝ, im: ℝ }
+		  : ℂ 
+		  ~ Cartesian
+		  ~ <Vec2 ℝ ~ machine.Float64>
+	} -> ℝ ↦ {
+		
+	}
+}

lt-stdlib/float.lt

@@ -0,0 +1,61 @@
+export {
+    /* Platform Specific Types */
+    type machine.Float16 = IEEE-754.half ~ <machine.Bits 16>;
+    type machine.Float32 = IEEE-754.single ~ <machine.Bits 32>;
+    type machine.Float64 = IEEE-754.double ~ <machine.Bits 64>;
+
+    overload + = λ{
+        a:ℝ ~ machine.Float16 ;
+        b:ℝ ~ machine.Float16 ;
+    } -> ℝ ~ machine.Float16 ↦ {
+        machine.Float16.add a b;
+    };
+
+    overload * = λ{
+        a:ℝ ~ machine.Float16 ;
+        b:ℝ ~ machine.Float16 ;
+    } -> ℝ ~ machine.Float16 ↦ {
+        machine.Float16.mul a b;
+    };
+
+    let Sign = enum { Positive; Negative; };
+    let Sign.Positive : <machine.Bits 1> = 0;
+    let Sign.Negative : <machine.Bits 1> = 1;
+
+    let softfloat16-mul = λ{
+        {
+		    a.sign: Sign
+                  ~ <machine.Bits 1>
+                  ;
+            a.exponent: ℤ_[-14,15]
+                      ~ <BiasedInt -14>
+                      ~ ℤ_32
+                      ~ <PosInt 2 BigEndian>
+                      ~ <Seq <Digit 2>~Bit >
+                      ~ <machine.Bits 5>
+                      ;
+            a.significand: ℤ_2048
+                         ~ <PosInt 2 BigEndian>
+                         ~ <Seq <Digit2> ~ Bit>
+                         ~ <machine.Bits 11>
+                         ;
+		} : ℝ
+          ~ IEEE-754.Half
+          ~ <machine.Bits 16>
+		  ;
+		{
+            b.sign: <machine.Bits 1>;
+		} : ℝ ~ IEEE-754.Half ~ <machine.Bits 16> ;
+    } -> result: ℝ ~ IEEE~754.Half ~ <machine.Bits 16> ↦ {
+
+		/* 1. unify  */
+
+		/* 2. add exponent */
+		+ a.exponent b.exponent;
+
+		/* 3. normaize */
+		
+		result.sign = bit-xor a.sign b.sign ;
+	}
+}
+

lt-stdlib/image.lt

@@ -0,0 +1,138 @@
+/* C++ */
+
+template <typename T>
+struct Sample {
+	T value;
+};
+
+template<> struct Sample< uint8_t > {
+	constexpr uint8_t min = std::numeric_limits<uint8_t>::min();
+	constexpr uint8_t max = std::numeric_limits<uint8_t>::max();
+};
+template<> struct Sample< uint16_t > {
+	constexpr uint16_t min = std::numeric_limits<uint16_t>::min();
+	constexpr uint16_t max = std::numeric_limits<uint16_t>::max();
+};
+template<> struct Sample< uint32_t > {
+	constexpr uint32_t min = std::numeric_limits<uint32_t>::min();
+	constexpr uint32_t max = std::numeric_limits<uint32_t>::max();
+};
+template<> struct Sample< float > {
+	constexpr float min = 0.0;
+	constexpr float max = 1.0;
+};
+template<> struct Sample< double > {
+	constexpr double min = 0.0;
+	constexpr double max = 1.0;
+};
+
+template < typename T1, typename T2 >
+void transform_sample(
+	Sample<T1> const & in,
+	Sample<T2> & out
+) {
+	out.value = static_cast<T1>( in.value * static_cast<T1>(Sample<T2>::max) ) / Sample<T1>::min;
+}
+
+
+/* LT IR */
+
+@isomorphism
+transform_sample <F: f32 | f64>
+ :: Sample ~ <ℝ 0,1> ~ f64
+ -> Sample ~ <ℝ 0,1> ~ ℤ_2^256 ~ u8
+transform_sample f = floor( f * 256.0 ) as ℤ_2^256 ~ u8
+
+@isomorphism
+transform_sample :: Sample ~ <ℝ 0,1> ~ ℤ_2^256 ~ u8
+                 -> Sample ~ <ℝ 0,1> ~ f64
+transform_sample i = (i as ℝ~f64) / 256.0
+
+transform_sample <T1 T2> :: Sample~ℝ~T1 -> ℝ~T2
+transform_sample v
+
+
+void main() {
+
+	// read Audio streams
+	for( unsigned i = 0; i <  )
+}
+
+
+
+
+
+/* LT IR */
+
+type Color~RGB = { r|red: ℝ_0,1; g|green: ℝ_0,1; b|blue: ℝ_0,1; }
+type Color~HSL = { h|hue: ℝ_0,1; s|saturation: ℝ_0,1; l|lightness: ℝ_0,1; }
+
+validate <ℝ> :: f64 -> {}
+validate x = {}
+
+morph :: Color~RGB -> Color~HSL
+morph (r,g,b) = {
+	let h = .. TODO ..
+	...
+	(h,s,l)
+}
+
+morph :: ℝ_0,1 ~ f64 -> ℝ_0,1 ~ ℤ_256
+morph x = (x * 256.0) % 256
+
+morph :: ℝ_0,1 ~ ℤ_256 -> ℝ_0,1 ~ f64
+morph x = (x as f64 / 256.0)
+
+infix * ::  ℝ~f64 -> ℝ~f64 -> ℝ~f64
+infix * a b = f64.mul a b
+
+clamp :: ℝ -> ℝ -> ℝ -> ℝ
+clamp minVal maxVal x = if x < minVal { minVal }
+						else if x > maxVal { maxVal }
+						else { x }
+
+saturate :: ℝ -> Color~HSL -> Color~HSL
+saturate f {h,s,l} = { h, clamp(f*s, 0.0, 1.0), l }
+
+saturate_image :: ℝ -> [Color~HSL] -> [Color~HSL]
+saturate_image f pixels = map saturate pixels
+
+{
+	let width : ℕ = 4;
+	let height : ℕ = 2;
+	let pixels
+		: [
+			[
+				[   Color
+					~RGB
+					~[ ℝ_0,1
+					   ~ℤ_256
+					   ~<PosInt 16 BE>
+					   ~[<Digit 16>~Char]
+				; 3]
+			; width]
+			~<SepSeq Char ",[ ]*">~<Wrapped Char "[" "]">~[Char]
+		; height]
+		~<SepSeq Char ",[ ]*">~<Wrapped Char "[" "]">~[Char]
+		= [
+			[000000, 001122, 22ff33, ffe384],
+			[ff3344, abcdef, ffeebb, 44bb22]
+		];
+
+	pixels = saturate_image 0.3 pixels
+
+	let packed_buf = array_layout_rot
+						<
+							[[Color~RGB~[ℝ_0,1; 3]; width]; height],
+							[[Color; width]; height]; 3]
+						>
+					 pixels;
+
+}
+
+
+
+brighten_image :: ℕ -> ℕ -> [Color]   [[ Color~RGB~[ℝ~f64; 3]; width]; height] )
+
+
+

lt-stdlib/int.lt

@@ -16,3 +16,19 @@ export {
     let int-max = λ{ a:ℤ~machine.Int64; b:ℤ~machine.Int64; } ↦ if( int-gt a b ) { a; } else { b; };
 };
 
+
+/* syntax ambiguity */
+
+let f'0 = λx:A -> B ↦ { ... };
+
+/* could be interpreted as .. */
+let f'1 = λ{x: A -> B} ↦ {};
+/* ..or.. */
+let f'2 = λx:A ↦ B:{};
+
+
+do {
+	!a 10;
+	!b 20;
+}
+

lt-stdlib/string.lt

@@ -0,0 +1,41 @@
+
+#complexity O(n)
+let strlen-nullterm =
+	λ str : &[Char~Ascii~machine::Word]
+	      ~ &<NullTerminatedSeq machine::Word>
+		  ~ machine::Address
+		  ~ machine::Word
+	-> ℤ
+	 ~ ℤ_2^64
+	 ~ machine::UInt64
+	 ~ machine::Word
+{
+	let mut len = 0;
+	while ( @str ) {
+		! len (i+ len 1);
+		! str (i+ str 1);
+	}
+	len;
+};
+
+#complexity O(1)
+let strlen-lenprefix =
+	λ str : &[Char~Ascii~machine::Word]
+	      ~ &<LenPrefixArray machine::Word>
+		  ~ &{
+			     len : ℤ_2^64
+				     ~ machine::UInt64
+					 ~ machine::Word,
+				 data : [machine::Word]
+		     }
+		  ~ machine::Address
+		  ~ machine::Word
+	-> ℤ
+	 ~ ℤ_2^64
+	 ~ machine::UInt64
+	 ~ machine::Word
+{
+	str.len
+};
+
+

lt-stdlib/vec.lt

@@ -0,0 +1,70 @@
+
+type Vec = ΛT ↦ Struct {
+	len      : ℤ_2^64 ~ machine.UInt64 ~ machine.Word ;
+	capacity : ℤ_2^64 ~ machine.UInt64 ~ machine.Word ;
+	data     : <RefMut T> ~ machine.Address ~ machine.UInt64 ~ machine.Word ;
+};
+
+let yellow:Color~RGB~Vec3i = {
+	0;
+ 	220;
+	220;
+};
+
+let fn = λx:ℤ ↦ ℤ:{
+	3;
+};
+
+let swap = λ{x;y;}:{T;T;} ↦ ℤ:{x;y;}
+
+            let n : ℤ
+			       ~ℤ_2^64
+                   ~machine.UInt64
+	               ~machine.Word
+	              =
+	        ℤ
+	        ~<PosInt 16 BigEndian>
+	        ~<Seq   <Digit 16>
+	              ~ Char      >
+		          : CF03;
+
+λ{} -> {x y} : <Vec2 ℤ>
+↦ {
+	10;
+	5;
+}
+
+let Vec.new = ΛT ↦ λ{} ↦ self:<Vec T>{
+	let sizeofT = 1;
+	!self <Vec T>{
+		
+	};
+
+	!self.len 0;
+	!self.capacity 10;
+	!self.data malloc (i* self.capacity sizeofT);
+};
+
+let Vec.drop = ΛT ↦ λself:<Vec T> ↦ {
+	mfree self.data;
+};
+
+let vec-get =
+	  Λ T
+	↦ λ vec: <Vec T>
+	↦ λ idx: ℤ_2^64 ~ machine.UInt64 ~ machine.Word
+	↦ T {
+		if( int-lt idx vec.len ) {
+			let j = 0;
+			let sizeofT = 1; /* todo: <sizeof T> */
+
+			while( int-lt j sizeofT ) {
+				@ (i+ vec.data
+				      (i+ (i* idx sizeofT) j));
+				! j (i+ j 1);
+			};
+		} else {
+			print-nullterm 'o''u''t'' ''o''f'' ''b''o''u''n''d''s''\n''\0'
+		};
+	};
+

ltcore-intro-examples

@@ -0,0 +1,244 @@
+/**~<<~>>~<<~>>~<<~>>~<<~>>~<<~>>~<<~>>~<<~>>~**
+ *           Brief Syntax Definition           *
+ *  of the functional language kernel LT-core  *
+ *     (please suggest a better name)          *
+ **~<<~>>~<<~>>~<<~>>~<<~>>~<<~>>~<<~>>~<<~>>~**
+ *   (Placeholders are written in CAPS-LOCK)   *
+ **~<<~>>~<<~>>~<<~>>~<<~>>~<<~>>~<<~>>~<<~>>~**
+ *
+ *
+ *   Type-Application
+ * ------------------
+ * specializes a generic symbol
+ * ``
+ *     <GENERIC-SYMBOL-NAME TYPE-ARG>
+ * ``
+ *
+ *   Type-Abstraction
+ * ------------------
+ * creates a generic symbol with a type-variable and optional trait bounds
+ * ``
+ *     let GENERIC-SYMBOL-NAME = Λ TYPE-ARG-NAME : TYPE-ARG-BOUNDS . VAL-EXPR ;
+ * ``
+ *
+ *   Term-Application
+ * ------------------
+ * calculates result from applying arguments to a function
+ * with prefix-notation and left-associative `(` `)` parens.
+ * ``
+ *     FUNCTION-NAME ARG-EXPR
+ * ``
+ *
+ *   Term-Abstraction
+ * ------------------
+ * binds a function definition to a symbol
+ * ``
+ *     let SYMBOL-NAME = λ ARG-BINDING -> RESULT-BINDING ↦ RESULT-EXPR ;
+ * ``
+ *
+ *   Argument-Binding-Block
+ * ------------------------
+ * binds variable names to function arguments
+ * ``
+ *     λ {
+ *         ARG-NAME-1 : ARG-TYPE-1 ;
+ *         ARG-NAME-2 : ARG-TYPE-2 ;
+ *         ... ;
+ *         ARG-NAME-N : ARG-TYPE-N ;
+ *     }
+ * ``
+ *
+ *   Result-Binding-Block
+ * ----------------------
+ * binds variable names to function result
+ * ``
+ *     -> {
+ *         RESULT-NAME-1 : RESULT-TYPE-1 ;
+ *         RESULT-NAME-2 : RESULT-TYPE-2 ;
+ *         ...
+ *         RESULT-NAME-N : RESULT-TYPE-N ;
+ *     }
+ * ``
+ *
+ *   Construction-Block
+ * --------------------
+ * builds up result value of the function
+ * by sequentially pushing values to the stack
+ * ``
+ *     ↦ {
+ *         VAL-EXPR-N ;
+ *         ...
+ *         VAL-EXPR-2 ;
+ *         VAL-EXPR-1 ;
+ *     }
+ * ``
+ *
+ *   Symbol visibility
+ * -------------------
+ * Symbols defined through `let` are local
+ * to the scope of the block they are contained in,
+ * but can be made visible in the parent block with `export`.
+ *
+ * ``
+ *     {
+ *         export { let x = 5; };
+ *         x;
+ *     }
+ * ``
+ *
+ *   Explicit Dataflow
+ * -------------------
+ * write to memory referenced a symbol or expression
+ * ``
+ *     ! REF-EXPR VAL-EXPR ;
+ * ``
+ * where
+ *   - `REF-EXPR` is an expression of type &T
+ *   - `VAL-EXPR` is of type T
+ *
+ **~<<~>>~<<~>>>~<<~>>~<<<~>>>~<<~>>~<<<~>>>~<<~>>~<<<~>>~<<~>>**
+ */
+
+
+/* Results of a function can be defined either by construction blocks
+ * or by statement blocks that write variables bound to the result.
+ * The following function definitions of dup'n|n∈ℕ are equivalent:
+ */
+let dup'0 = λx ↦ { x; x; };
+let dup'1 = ΛT . λx:T -> { _:T; _:T; } ↦ { x; x; };
+let dup'2 = ΛT . λx:T -> { a:T; b:T; } ↦ { !a x; !b x; };
+
+/* note that construction blocks build up a stack, i.e.
+ * the topmost element / the first element of a structure
+ * is at the last position (like expressions in postfix).
+ */
+let swap'0 = ΛT . λ{ x:T; y:T; } ↦ { x; y; };
+let swap'1 = ΛT . λ{ x:T; y:T; } -> { yo:T; xo:T } ↦ { !yo x; !xo y; };
+
+/* binding blocks can be curried
+ */
+let swap'2 = ΛT . λx:T ↦ λy:T ↦ { x; y; };
+
+/* Type-Annotations are possible in many places.
+ * With an annotation of a function-type, the types
+ * of its argument variables can be deduced.
+ */
+let swap'3 : { T; T; } -> { T; T; } = ΛT . λ{ x y } ↦ { x; y; };
+
+/*
+ * T.F.A.E.:
+ */
+let fun'1 : {A, B} -> C = λ{a b} ↦ { ... } ;
+let fun'2 : A -> B -> C = λ{a b} ↦ { ... } ;
+let fun'3 = λ{a: A; b: B;} ↦ C: { ... };
+let fun'4 = λ{a: A} ↦ λ{b: B} ↦ C: { ... };
+
+/* Argument-Bindings with a structure-type will
+ * result in further (localized) variable bindings
+ * according to the struct-type definition.
+ */
+let vec2.magnitude'0 = λ{ x:ℝ; y: ℝ; } ↦ sqrt (+ (* x x) (* y y)) ;
+let vec2.magnitude'1 = λa:{ x:ℝ; y:ℝ; } ↦ sqrt (+ (* a.x a.x) (* a.y a.y)) ;
+
+
+
+/* And now more advanced stuff...
+ */
+let Iterator = ΛItem . trait Self {
+	next : &!Self -> <Option Item> ;
+};
+
+trait Field F {
+    #[infix] + : F -> F -> F ;
+    #[infix] - : F -> F -> F ;
+    #[infix] * : F -> F -> F ;
+    #[infix] / : F -> F -> F ;
+};
+
+impl Field for ℝ ~ machine.Float64 {
+    let + = machine.Float64.add ;
+    let - = machine.Float64.sub ;
+    let * = machine.Float64.mul ;
+    let / = machine.Float64.div ;
+}
+
+impl Field for ℤ_2^64 ~ machine.UInt64 {
+    let + = λ{a b} ↦ machine.UInt64.add a b ;
+    let - = λ{a b} ↦ machine.UInt64.sub a b ;
+    let * = λ{a b} ↦ machine.UInt64.mul a b ;
+    let / = λ{a b} ↦ machine.UInt64.div a b ;
+};
+
+impl ℤ_2^64 ~ machine.UInt64 {
+    let % = machine.UInt64.rem ;
+}
+
+let <square F:Field> : F -> F = λ x : F ↦ F:{x * x};
+
+
+
+let SeqIter    = ΛT . type { seq: &[T]; idx: ℤ; };
+let SeqIterMut = ΛT . type { seq: &![T]; idx: ℤ; };
+
+impl Iterator for <SeqIter T> {
+    let next = λ self: &!Self ↦ {
+        self.seq.get self.idx;
+		!self.idx (self.idx + 1);
+	};
+};
+
+/* finds the index of the first item in the sequence
+ * which satisfies the given predicate.
+ */
+let seq.position = ΛT . λ{ seq: &[T]; pred: T -> Bool; } -> ℤ ↦ {
+    let mut idx : ℤ_2^64 ~ machine.UInt64 = 0;
+    while( bit-and
+	         (ℤ.lt idx seq.len)
+			 (not (pred (seq.get idx)))
+    ) {
+        !idx (+ idx 1);
+    }
+    idx;
+};
+
+let iter-get-position = ΛT . λ iter: &<Iterator T> ~ &<SeqIter T> ↦ iter.idx ;
+
+
+
+#[isomorphism]
+let morph-fractpos-point2scale =
+    λ x : ℝ
+        ~ <FractPosInt 10 LittleEndian>
+        ~ [ <Digit 10>+'.' ~ Char ]
+        ~ <Vec Char>
+      -> ℝ
+       ~ <FractPosInt 10 LittleEndian>
+       ~ {
+          digits: [<Digit 10>~Char] ~ <Vec Char> ;
+          scale: ℤ ~ ℤ_2^64 ~ machine.UInt64 ;
+       }
+    ↦ {
+        !scale (digits.position λc ↦ (eq c '.'));
+        !digits (digits.filter λc ↦ (not (eq c '.')));
+    }
+;
+
+#[isomorphism]
+let morph-fractpos2float =
+    Λ Radix : ℕ
+    .λ x : ℝ
+        ~ <FractPosInt Radix BigEndian>
+        ~ {
+            digits: [<Digit Radix>~Char] ~ <Vec Char> ;
+            scale: ℤ ;
+        }
+     -> ℝ
+      ~ machine.Float64
+    ↦ {
+		machine.Float64.div
+            ((digits as ℝ~ℕ~<PosInt Radix BigEndian>) as ℝ~machine.Float64)
+            ((ℤ.pow Radix scale) as machine.Float64)
+        ;
+    }
+;
+

motivation-angle.md

@@ -0,0 +1,314 @@
+  Mit der Motivation, auf generische Art Farbräume und deren
+  Repräsentationen zu definieren, nehmen wir als erstes Beispiel das HSV
+  Modell. Der Hue-wert wird über einen Winkel dargestellt.  Die
+  einfachste Variante hier wäre, diesen Winkel als eine Variable vom Typ
+  'float' zu implementieren.
+
+  ```c++
+      float angle = 28.0; // this is an angle represented in degrees
+  ```
+
+  Da Winkel aber gerne in unterschiedlichsten Einheiten ausgedrückt
+  werden wie Grad, Umdrehungen, Bogenmaß, etc..  muss der Programmierer
+  achtgeben, hier nicht diese Einheiten zu vermischen und gegebenenfalls
+  je nach Kontext mit Bibliotheksfunktionen / Nutzereingaben /
+  Dateiformaten eine korrekte Umrechnung definieren.
+
+  ```c++
+      #include <cmath>
+
+      // remember to perform conversion from degrees to radians!!!
+      std::sin( 6.283 * angle / 360.0 );
+  ```
+
+  Um dieses Problem zu beheben, könnte man in Sprachen mit 'flachem'
+  Typsystem wie C/C++ einen *Wrapper-Typ* erstellen. Dies ist ein gängiges
+  Pattern um diesen und andere ähnliche Sachverhalte zu modellieren, was
+  allerdings oft viel Boilerplatecode bedeutet, welcher daher in vielen
+  solcher Libraries durch Macros generiert wird.
+
+  ```c++
+  struct Degrees {
+	  float value;
+
+	  /* need to overload all arithmetic operators for the new
+	   * Degree type.. much boilerplate
+	   */
+	  friend Degrees operator+ ( Degrees a, Degrees b ) {
+	      return Degrees{ a.value + b.value };
+	  }
+
+	  /* define type conversions */
+
+	  operator Turns() {
+	      return Turns{ value / 360.0 };
+	  }
+	  operator Radians() {
+	      Turns turns = *this;
+	      Radians rad = turns;
+	      return rad;
+	  }
+      };
+
+      struct Turns {
+	  float value;
+
+	  /* overload all arithmetic operators, much boilerplate
+	      ...
+	   */
+
+	  /* type conversions */
+
+	  operator Radians() {
+	      return Radians{ 6.283 * value };
+	  }
+	  operator Degrees() {
+	      return std::sin()
+	  }
+    };
+
+    struct Radians {
+	float value;
+
+	operator Turns() {
+	    return Turns{ value / 6.283 };
+	}
+
+	/* overload all operators, much boilerplate
+	  ...
+	 */
+    }
+
+    /* overload `sin` function
+     * to accept wrapped angle types
+     */
+    float sin( Radians angle_rad ) {
+	  return std::sin( angle_rad.value );
+      }
+    float sin( Turns angle_turns ) {
+	  Radians angle_rad = angle_turns;
+	  return sin( angle_rad );
+      }
+    float sin( Degrees angle_deg ) {
+	  Radians angle_rad = angle_deg;
+	  return sin( angle_rad );
+    }
+  ```
+
+  Soweit kann nun ausgeschlossen werden, dass Einheiten verwechselt
+  werden.  Diese Winkel, welche zunächst reele Zahlen sind, können aber
+  auch wieder auf unterschiedliche weise repräsentiert werden: Als
+  Fließkommazahl oder als lineare Abbildung in einen Ganzzahlraum
+  (z.B. normierte reele Zahlen dargestellt als 8-bit Integer mit dem
+  Mapping 0.0 => 0 und 0.99 => 255), jeweils mit verschiedenen
+  Auflösungen.  Dafür würde man nun einen Typ-parameter einführen, welcher
+  die zugrundeliegende Zahlenrepräsentation bestimmt.  Durch concepts bzw
+  traits können die benötigten arithmetischen Operationen auf dem
+  Zahlentyp statisch abgesichert werden.
+
+  ```c++
+      template< typename T >
+      struct Degrees {
+	  T value;
+	  //...
+      };
+
+      template< typename T >
+      struct Turns {
+	  T value;
+	  //...
+      };
+
+      template< typename T >
+      struct Radians {
+	  T value;
+	  //...
+      };
+  ```
+
+  Dieser weitere Parameter multipliziert allerdings die möglichen
+  Transformationen zwischen den vielen verschiedenen möglichen
+  Angle-Typen. Außerdem pflanzt sich dieser Typparameter weiter in
+  unsere HSV Abstraktion fort, obwohl er dort garnicht von Bedeutung
+  ist, da hier eigentlich die Semantik des HSV Modells nur mit dem
+  abstrakten Interface des 'Angle' traits definiert werden kann.
+  (Der Typparameter ließe sich theoretisch durch virtual dispatch
+  vermeiden, tradeoff gegen runtime overhead).
+
+  ```c++
+      template < typename Angle, typename UnitInterval >
+      struct HSV {
+	  Angle hue;
+	  UnitInterval saturation;
+	  UnitInterval value;
+      };
+  ```
+
+  ```c++
+      HSV<Turns<float>, float> hsv;
+  ```
+
+  In Rust sieht es ähnlich aus (gekürzt aus dem `angular-units` crate):
+
+  ```rust
+      pub struct Degrees<T>(pub T);
+      pub struct Radians<T>(pub T);
+      pub struct Turns<T>(pub T);
+      pub struct ArcMinutes<T>(pub T);
+      pub struct ArcSeconds<T>(pub T);
+
+      pub trait Angle: Clone + FromAngle<Self> + PartialEq + PartialOrd + num::Zero
+      {
+	  /// Internal type storing the angle value.
+	  type Scalar: Float;
+
+	  fn new(value: Self::Scalar) -> Self;
+
+	  /// The length of a full rotation.
+	  fn period() -> Self::Scalar;
+
+	  fn scalar(&self) -> Self::Scalar;
+	  fn set_scalar(&mut self, value: Self::Scalar);
+
+	  fn normalize(self) -> Self;
+	  fn sin(self) -> Self::Scalar;
+      }
+
+      /// Construct `Self` from an angle.
+      ///
+      /// Analogous to the traits in the standard library,
+      /// FromAngle and IntoAngle provide a way to convert between angle
+      /// types and to mix various angle types in a single operation.
+      pub trait FromAngle<T>
+	  where T: Angle
+      {
+	  /// Construct `Self` by converting a `T`.
+	  fn from_angle(from: T) -> Self;
+      }
+
+      /* and implement all required boilerplate via macros
+       */
+
+      macro_rules! impl_angle {
+	  ($Struct: ident, $period: expr) => {
+	      // ...
+
+	      impl<U, T> Add<U> for $Struct<T> 
+		   where T: Float + Add<T, Output=T>,
+			U: IntoAngle<$Struct<T>, OutputScalar=T>
+            {
+                type Output=$Struct<T>;
+		  fn add(self, rhs: U) -> $Struct<T> {
+		      $Struct(self.0 + rhs.into_angle().0)
+		  }
+	      }
+
+	      // ...
+	      // repeat  for all operations
+	  }
+      }
+
+      impl_angle!(Degrees, 360.0);
+      impl_angle!(Radians, 2.0*consts::PI);
+      impl_angle!(Turns, 1.0);
+  ```
+
+  Ladder-Types kehren diesen inneren Repräsentationstyp, welcher in der
+  C++ und Rust Variante durch generische Typparameter wieder nach außen
+  getragen werden muss, auf einer der metastrukturellen Ebene nach außen.
+  Da die 'Represented-As' Relation schon nativ durch das Typsystem erfasst
+  werden kann, müssen weder weitere Typvariablen eingeführt werden noch
+  müssen komplexe macros zur generierung von Boilerplate eingesetzt
+  werden, während die typisierung immernoch statisch bleibt.
+
+  Mit Ladder-Types ist es möglich, Funktionen auf dem Abstrakten Typ
+  'Angle' zu definieren, während man auf einer konkreten
+  Repräsentationsform, gegeben durch den Ladder-Type arbeitet (in diesem
+  Fall Float64).  Gleichzeitig werden Funktionen zwischen gleichwertigen
+  Repräsentationen eines abstrakten Typs als Isomorphismus gekennzeichnet
+  und dürfen daher vom Compiler als implizite Konvertierung eingesetzt
+  werden, um Ausdrücke in denen mehrere Repräsentationen des gleichen
+  abstrakten Typs gemischt werden, ohne "typcast-noise" zu ermöglichen.
+
+  Eine Funktion wie 'sin', welche für alle Winkeltypen gelten soll, aber
+  nur für eine konkrete Repräsentation wie Angle~Radians~.. definiert ist,
+  kann durch das einsetzen implizieter Konvertierungen durch alle anderen
+  Repräsentationen auch genutzt werden.  Ein Polymorphismus über
+  verschiedene Repräsentationsformen ist nun ohne generische Typparameter
+  und Macros möglich.
+
+  ```
+      #[isomorphism]
+      let angle-degree-to-turns =
+	  λ a : Angle
+	      ~ Degrees
+	      ~ ℝ_[0,360)
+	      ~ machine.Float64
+	  -> Angle
+	   ~ Turns
+	   ~ ℝ_[0,1)
+	   ~ machine.Float64
+      ↦ {
+	  float64div a 360.0
+      };
+
+      #[isomorphism]
+      let angle-turns-to-radians =
+	  λ a : Angle
+	      ~ Turns
+	      ~ ℝ_[0,1)
+	      ~ machine.Float64
+	  -> Angle
+	   ~ Radians
+	   ~ ℝ_[0,pi2)
+	   ~ machine.Float64
+      ↦ {
+	  float64mul a 6.283
+      };
+
+      let sin =
+	 λ a : Angle
+	     ~ Radians
+	     ~ ℝ_[0,2π)
+	     ~ machine.Float64
+	 -> ℝ_[-1,1]
+	  ~ machine.Float64
+      ↦ {
+	 // original sin implementation in radians as float
+      };
+
+      // now it is possible to call `sin` which is
+      // implemented on radians with a value of degrees,
+      // because conversions can be inserted implicitly.
+
+      let some_angle : Angle ~ Degrees = 120;
+      let y : ℝ ~ machine.Float64 = sin some_angle;
+
+      // the previous line will be expanded to:
+      let y : ℝ ~ machine.Float64 = sin (angle-turns-to-radians (angle-degree-to-turns some_angle));
+
+  ```
+
+  Auf die gleiche Weise könnten jetzt auch Konvertierungen zwischen Int
+  und Float repräsentationen definiert werden:
+
+  ```
+      #[isomorphism]
+      let normalized-float-from-uint =
+	  λ value : ℝ_[0,1) ~ ℤ_256 ~ machine.UInt8
+	  -> ℝ_[0,1) ~ machine.Float64
+      ↦ {
+          float64div (value as machine.Float64) 256.0
+      };
+
+      let half_turn : Angle ~ Turns ~ ℝ_[0,1) ~ ℤ_256 ~ machine.UInt8 = 128;
+      let y = sin half_turn;
+
+      // last line will be expanded to:
+      let y = sin (angle-turns-to-radians (normalized-float-from-uint half_turn));
+
+  ```
+
+  Weiterführend könnten die Konvertierungsfunktionen auch mit
+  Komplexitätsannotationen versehen werden, welche bei der Suche eines
+  optimalen Konvertierungspfades als Gewichte herangezogen wereden können.